مدل­هایی که در این فصل مورد بحث قرار گرفته­اند عبارتند از: مدل گاز فرمی، مدل پوسته­­ای، مدل جمعی و مدل شبه کوارکی. علاوه بر اینها متدهای دیگری برای به دست آوردن بعضی خواص هسته­ها مورد استفاده قرار گرفته است، که می­توان از محاسبات مربوط به کشش سطحی هسته­ها نام برد. از کارهای انجام شده در این راستا می­توان به منابع [۱۴-۲۲] اشاره کرد. در مدل آلفا ذره­ای سعی شده است که هسته را مرکب از ذرات آلفا در نظر بگیرند [۲۳ و ۲۴] تا بتوانند برخی خصوصیات هسته را توضیح دهند.

( اینجا فقط تکه ای از متن فایل پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )

۳-۲- مدل گاز فرمی^[۱۹]
یک سیستم شامل تعدادی از نوترون­ها وپروتون­ها که در یک جعبه مکعبی به طول a قرار دارند را در نظر می­گیریم. معادله شرودینگر برای یک تک ذره که در این جعبه قرار دارد به صورت زیر است.
(۳-۱)
با اعمال شرط مرزی، سد پتانسیل بی­نهایت در دیواره­ های جعبه، تابع موج در مرز برابر صفر خواهد شد،  . مرز تابع جایی است که یکی از حالات زیر اتفاق بیفتد.
(۳-۲)
عمل دیواره­ های جعبه در واقع جایگزین میانگین برهم­کنش بین نوکلئون­هاست. با تنظیم اندازه جعبه می­توان به چگالی نوکلئون­ها در هسته رسید. حل معادله (۳-۱) با شرایط مرزی داده شده برابر است با:
(۳-۳)
در اینجا روابط زیر برقرار است.
(۳-۴)
در اینجا  ،  و  همگی اعداد صحیح مثبت هستند و A ثابت بهنجارش است. (اعداد صحیح منفی به جواب یکسان با معادله (۳-۳) ختم خواهند شد.) هر مجموعه از اعداد صحیح  یک جواب متناظر با انرژی زیر به دست خواهد آورد.
(۳-۵)
این معادله به همراه محدودیت­هایی که معادله (۳-۴) بر روی مقادیر  ،  و  قرار می­دهد نمایانگر کوانتیزه شدن یک ذره در جعبه خواهد شد. از معادله (۳-۵) آشکار است که  تکانه (تقسیم بر  ) یک ذره در جعبه است.
بنابر اصل طرد پائولی هر حالت می ­تواند با چهار نوکلئون پر شود. دو پروتون با اسپین­های مختلف و دو نوترون با اسپین­های متفاوت. کمترین انرژی هسته با پر شدن پایین­ترین ترازهای انرژی جعبه به دست می ­آید. مقدار این انرژی بستگی به تعداد حالت­های در دسترس دارد.
با در نظر گرفتن فضای تکانه k به خاطر رابطه (۳-۴)، به ازای هر عنصر حجم مکعبی با طول  (و حجم  ) در این فضا تنها یک نقطه وجود دارد که یک جواب به فرم معادله (۳-۳) برای معادله (۳-۱) وجود دارد. تعداد حالت­های مجاز  ، با اندازه k بین k و  با رابطه زیر داده می­ شود.
(۳-۶)
در این رابطه  حجم پوسته کروی در فضای تکانه با شعاع­های k و  است؛ تنها یک هشتم از این پوسته در نظر گرفته شده است، چون  ،  و  تنها مقادیر مثبت را اختیار می­ کنند.  حجم فضای تکانه­ای است که هر حالت می ­تواند اشغال کند. شکل (۳-۱) تعداد حالت­های مجاز تا انرژی  با رابطه زیر بیان می­ شود.
(۳-۷)
شکل (۳-۱): هر نقطه در محل تقاطع خطوط نماینده یک زوج مجاز  است. به منظور یافتن تعداد زوج­های مجاز بین  و  ، تعداد نقطه­های بین دو کمان دایروی مشخص شده در شکل را می­شماریم. معادله (۳-۶) به طریق مشابه اما در سه بعد به دست آمده است.
چون هر حالت تکانه، براساس اصل طرد پائولی، دو پروتون و دو نوترون را در خود جای دهد. می­خواهیم پایین­ترین سطح انرژی A نوکلئون که برهم­کنشی با همدیگر ندارند، و در یک جعبه به طول a قرار دارند را حساب کنیم. پایین­ترین سطح انرژی هنگامی است که تعداد پروتون­ها و نوترون­ها با هم برابر باشد. بیشترین تکانه خطی با بهره گرفتن از رابطه بالا به دست می ­آید.
(۳-۸)
در اینجا  حجم جعبه است. نتیجه­ای که از این رابطه به دست می ­آید این است که تکانه بالاترین حالت اشغال شده تنها به چگالی نوکلئون­ها،  ، در جعبه بستگی دارد.
(۳-۹)
ما برهم­کنش بین نوکلئون­ها را نادیده گرفتیم (بجز در حالتی که چگالی را تعیین می­کرد، که از طریق دیوارهای جعبه اعمال شد). با این محدودیت، توزیع تکانه در واحد حجم در فضای تکانه، تابع پله­ای است، با یک مقدار ثابت محدود هنگامی که  و برابر با صفر خواهد بود هنگامی که  ، شکل (۳-۱). این توزیع تکانه تحت عنوان توزیع فرمی نامیده شده است. در آزمایشات پراکندگی انرژی بالا می­توان توزیع تکانه نوکلئون­ها در هسته­ها را اندازه ­گیری کرد، که نتیجه چنین آزمایشاتی عدم وجود تابع پله­ای به ازای  می­باشد، اما احتمال یافتن نوکلئونی با تکانه  سریعاً با k کاهش می­یابد.
N(k)
k_F
k
شکل (۳-۲): توزیع تکانه نوکلئون­ها در حالت پایه گاز فرمی.  تکانه فرمی و  برابر با تعداد حالت­هایی که تکانه بین  و  دارند.
با بهره گرفتن از مقدار مشاهده شده چگالی هسته­ها،  ، که عملاً برای هسته­های با  ثابت است، مقدار  و  را به دست می­آوریم.
(۳-۱۰)
و  به ترتیب تکانه فرمی و انرژی فرمی مدل گاز تبهگن است. متوسط انرژی جنبشی فرمیون­های داخل جعبه کمتر از  است و با در نظر گرفتن چگالی مشاهده شده هسته­ها از رابطه زیر به دست می ­آید.
(۳-۱۱)
همچنین مناسب است که شعاع هسته­ها را با بهره گرفتن از رابطه  به دست آوریم. از آنجایی که چگالی مشاهده شده هسته­ها تقریباً از عدد جرمی آنها مستقل است، رابطه زیر به دست می ­آید.
(۳-۱۲)
با مقدار مشاهده شده چگالی هسته­ها شعاع هسته­ها به دست می ­آید و در نتیجه:
(۳-۱۳)
راه­های گوناگونی برای محاسبه شعاع هسته­ها وجود دارد، چون هسته­ها مرز پله­ای ندارند، بلکه چگالی هسته­ها تقریباً به صورت هموار به صفر می­ کند، معادله (۳-۱۳) نمایانگر شعاع کره­ای است که همه نوکلئون­ها را در بر بگیرد.
با توجه به رابطه (۳-۶) و شکل (۳-۱ ) می­بینیم که به ازای هر مقدار  ، به عنوان نمونه، نباید حالت­هایی را بشماریم که  ، زیرا در این حالت­ها تابع موج صفر است. تعداد این چنین حالاتی که در عنصر دایروی سطحی  و شعاع k قرار دارد برابر  است. بنابراین تعداد حالات­های مجاز بین k و  برابر است با:
(۳-۱۴)
که در اینجا  سطح مکعب دربرگیرنده گاز فرمی است. چون  بر حسب نسبت  نوشته شده است، برای هسته با هر شکلی معتبر است. می­توان نشان داد که در واقع  تابعی از نسبت  است. با بهره گرفتن از این رابطه می­توان انرژی هسته را به دست آورد.
(۳-۱۵)
در اینجا  و  . در این مدل  را در واقع ضریب جمله حجمی و  را ضریب جمله سطحی در رابطه انرژی بستگی هسته­ها می­دانند.

برای شعاع هسته رابطه  برقرار است. و چگالی هسته  است. بنابراین  و بنابراین ضریب جمله سطحی در رابطه انرژی بستگی بدست می ­آید.
(۳-۱۶)
با جایگزینی مقدار انرژی فرمی، از رابطه (۳-۱۱)، در این رابطه و استفاده از مقدار مشاهده شده چگالی هسته­ها انرژی سطحی برابر با  به دست می ­آید؛ که قابل مقایسه با مقدار فرمول نیمه تجربی جرم است (یعنی  ).
چندان معقول به نظر نمی­رسد که چگالی هسته­ها را به صورت یک تابع پله­ای که در شکل (۳-۲) نشان داده شده در نظر بگیریم بلکه بهتر است آن را مانند شکل (۳-۳) در نظر بگیریم که با رابطه زیر بیان می­ شود.
(۳-۱۷)
در این صورت تا اولین مرتبه  خواهیم داشت.
(۳-۱۸)
از طرف دیگر چگالی متوسط با رابطه زیر بدست می ­آید.
(۳-۱۹)
طرف چب معادله (۳-۱۸) تا اولین مرتبه مستقل از  است بنابراین مقدار t برابر خواهد بود با:  . مقدار تجربی ضخامت پوست هسته­ها، فاصله­ای است که چگالی هسته­ها از  تا  چگالی قسمت ثابت تغییر می­ کند. با این تعریف ضخامت پوست برابر  می­ شود. اندازه ­گیری ضخامت پوست هسته­ها مقدار  را می­دهد که با مقدار به دست آمده با مدل گاز فرمی قابل مقایسه است. البته اگر تابع چگالی به صورت هموارتر تعریف شود. مقدار به دست آمده بهتر خواهد شد [۲۵].