برای یک سیال کامل معادله ی حالت به شکل زیر است. در این رابطه  مقدار ثابتی است

( اینجا فقط تکه ای از متن فایل پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )

۲-۲-۱ تانسور انرژی- تکانه غبار

بر اساس اصل موضوع وایل کهکشان های تشکیل دهنده ی جهان شبیه ذرات یک سیال هستند. این ذرات در فضا-زمان روی ژئودزیک های زمان گونه حرکت می کنند. اگر این سیال را به صورت غبار یعنی ذراتی بدون برهمکنش و غیر نسبیتی در این صورت می توان نوشت:  بنابراین و طبق رابطه ۲-۷ تانسور انرژی-تکانه برابر است با  :

۲-۲-۲ تانسور انرژی- تکانه تابش

جهانی با سلطه ی تابش شامل امواج الکترومغناطیس ذرات مادی با انرژی بالا (این ذرات دارای سرعتی نزدیک به سرعت نور می باشند به طوری که می توان از انرژی سکون این ذرات در مقابل انرژی جنبشی آنها صرف نظر کرد) می باشد. تانسور انرژی- تکانه تابش به صورت زیر نوشته می شود  :

رد این تانسورا به صورت زیر بدست می آید:

این رد بایستی با رد تانسور انرژی- تکانه ۲-۳۸ برابر باشد پس  :

۲-۳ قانون پایستگی انرژی

طبق قانون پایستگی انرژی، انرژی یک سیستم منزوی همواره ثابت است و با گذشت زمان و تغییر مکان سیستم انرژی جسم تغییر نمی کند این بیان را در نسبیت عام به شکل زیر نوشته می شود  :

برای مولفه های صفر رابطه بالا می توان نوشت:

با بهره گرفتن از ضرایب متریک رابرتسون- واکر و ضرایب کریستوفل در پیوست الف داریم:

در این روابط  که پارامتر هابل است.
در جهانی با سلطه ی غبار  است:

یعنی با انبساط عالم چگالی انرژی کاهش می یابد.
در جهانی با سلطه تابش  است:
در این حالت چگالی انرژی تابشی با انبساط عالم سریع تر از سلطه ی غبار کاهش می یابد  .

۲-۴ معادلات اینشتین

در مکانیک کلاسیک، شتاب یک جسم با رابطه زیر به پتانسیل میدان گرانشی (یعنی  ) مربوط می شود  .

همچنین معادله ی اساسی این نظریه، معادله ی دیفرانسیل پواسون برای بررسی پتانسیل گرانشی بر حسب چگالی ماده یعنی  می باشد.

که  عملگر لاپلاسین،  چگالی جرم است و  ثابت گرانشی نامیده می شود. در سمت چپ این معادله عملگر لاپلاسین وجود دارد که روی پتانسیل گرانش اثر می کند. در سمت راست این معادله مقیاس توزیع جرم وجود دارد. در نسبیت عام رابطه مشابهی وجود دارد که توضیح می دهد چگونه انحنا و فضا-زمان روی رفتار ماده اثر گذاشته و به طور متقابل حضور و حرکت ماده و یا توزیع انرژی در تغییر هندسه فضا زمان مؤثر است  .
طبق اصول موضوعه ی نسبیت عام که در بخش ۲-۱ بیان شد، تعمیم رابطه ۲-۲۱ بایسی یک رابطه تانسوری باشد تا در حد کلاسیکی به این رابطه ختم شود. پس سمت راست معادله رابطه به جای چگالی جرم(  ) بایستی تانسور انرژی-تکانه باشد. از آنجایی که مفهوم تانسور متریک بایستی جایگزین پتانسیل گرانشی گردد، پس در سمت چپ این معادله تانسوری قرار می گیرد که بر حسب تانسور متریک می باشد. با توجه به شکل معادله پواسون معادله ی اینشتین باید به گونه ای باشد که تانسور انرژی-تکانه  متناسب با تانسوری قرار گیرد که این تانسور بر حسب مشتقات مرتبه ی دوّم متریک فضا-زمان نوشته شود. در نسبیت عام این تانسور یک تانسور مرتبه ی چهار است و نمی توان آن را متناسب با یک تانسور مرتبه ی دوّم قرار داد. اما می توان آن را با تانسور مرتبه دوّم (تانسور ریچی) متناسب قرار داد یعنی؛

اگر تانسور ریچی را متناسب با تانسور انرژی-تکانه قرار دهیم داریم:

در رابطه بالا  ضریب تناسب است. اما این رابطه با رابطه پایستگی انرژی  سازگار نیست. زیرا

اما تانسوری که اینشتین معرفی کرد دارای خصوصیات مورد نظر است و مشتق هموردای آن نیز صفر است.

بنابراین معادلات اینشتین بایستی به شکل زیر باشند.

معادله ی فوق تمام شرایط مورد نظر را داراست. طرف راست آن که توزیع ماده و انرژی را مشخص می کند به شکل یک تانسور مرتبه دو و متقارن بیان می شود. طرف چپ آن نیز یک تانسور مرتبه دو و متقارن است که از مشتقات مرتبه ی اول و دوم متریک ساخته می شود. تنها چیزی که باقی می ماند ثابت تناسب  است. این کمیت را باید به گونه ای مشخص کرد که معادله ی ۲-۲۵ طبق اصل همخوانی در حد نیوتونی معادلعه ی اساسی مکانیک کلاسیک را به دست دهد. برای این کار معادله ی ۲-۲۵ را به شکل زیر می نوسیم  :
و به دست می آوریم:

با بهره گرفتن از این رابطه معادله ی ۲-۲۵ به شکل زیر در می آید.

حال بایستی حد نیوتونی این معادله را بررسی کنیم یعنی هنگامی که میدان گرانشی ضعیف و مستقل از زمان باشد و سرعت ذرات نسبت به سرعت نور بسیار ناچیز باشد. برای این کار تانسور انرژی- تکانه غبار یعنی معادله ۲-۹ همچنین دستگاه مختصاتی در نظر می گیریم که چار بردار سرعت غبار به صورت زیر باشد