• جواب به طور پیوسته با تغییر داده تغییر کند(پایداری^[۱۲])

تعریف ریاضی سه مورد بالا در مورد تابع خوش رفتار به این قرار است:
تعریف: فرض کنیم و فضاهای نرمال باشند و یک نگاشت(خطی یا غیر خطی) باشد به طوری که داشته باشیم . معادله­  در صورتی خوش رفتار است که سه ویژگی زیر را داشته باشد:

• به ازای هر حداقل یک وجود داشته باشد به طوری که(وجود)

• به ازای هرحداکثر یک وجود داشته باشد به طوری که (یکتایی)

• به ازای هر دنباله­ی  اگر با  ،  در آن صورت  (پایداری)

هر مساله­ای که خوش­رفتار نباشد(حداقل یکی از سه ویژگی بالا را نداشته باشد) بدرفتار^[۱۳] نامیده می­ شود.
مهمترین دغدغه در حل مسائل معکوس مورد سوم یا همان مساله پایداری است. در همین مثال حرکت ابرها و بارش باران که در بخش اول بیان شد، فرض کنیم که با مشاهده نقشه­های هواشناسی و مخابره کشورهای اطراف به این نتیجه برسیم که مثلاً به علت عبور سامانه ابری از غرب به شرق، سه روز دیگر در تهران بارندگی خواهیم داشت، در این حالت وزش بادی از شمال به جنوب که پیش ­بینی آن صورت نگرفته است و یا این­که غیر قابل پیش ­بینی است و جابجایی ابرها به شهر دیگری مانند اصفهان نتیجه­ای که دربر خواهد داشت بارش باران در این شهر است. در این صورت تغییر کوچک در داده ورودی منجر به تغییر اساسی در خروجی شده است. بنابراین در حل مسائل معکوس باید به پایداری یا پایدارسازی مساله توجه ویژه داشته باشیم.

( اینجا فقط تکه ای از متن پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )

مسائل معکوس در مغناطیس
در حوزه الکترومغناطیس نیز می­توان مسائل مستقیم و معکوس را متصور بود. اغلب در الکترومغناطیس به دلیل کاربرد بسیار گسترده، مسائل معکوس در حوزه پراکندگی بررسی و طبقه ­بندی می­شوند. به این صورت که در مساله مستقیم میدانی را به محیطی می­تابانیم. به طوری که جنس و موقعیت جسم درون محیط برای ما مشخص است. در این صورت محاسبه میدان پراکندگی^[۱۴] مطلوب مساله است. اما در حالت معکوس میدانی را با دامنه و فاز مشخص به محیطی می­تابانیم و میدان­های پراکنده شده را جمع­آوری می­کنیم. در این صورت مطلوب ما شناسایی جنس و موقعیت پراکنده کننده­ های داخل محیط است. بیایید سه مورد بدرفتاری را درمورد مساله معکوس بررسی کنیم. با این فرض که می­دانیم جنس جسم پراکنده کننده فلز است و ما به دنبال موقعیت آن هستیم.
وجود جواب: ممکن است میدانی که آنتن گیرنده دریافت می­ کند به­قدری تغییر کرده باشد که مقداری که نشان می­دهد ناشی از هیچ نوع جسم پراکنده کننده­ فلزی نباشد.
یکتایی جواب: در صورتی که مشاهدات محدود باشد، مثلاً تعداد آنتن گیرنده کم باشد یا به طور ۳۶۰درجه نتوان میدان­های برگشتی و عبوری را در حالت دوبعدی دریافت کرد، در این حالت ممکن است بازهم به علت دریافت داده ­های نویزی یا ناصحیح و البته محدود به جوابی برسیم که ناشی از دو یا چند نوع جسم است.
ناپایداری: فرض کنید که میدانی که یک آنتن گیرنده دریافت می­ کند برابر یا نزدیک صفر باشد و میدان بقیه نقاط تغییر اندازه پیوسته و آرام حول مقدار ۱۰ولت­برمتر داشته باشند. به عنوان مثال دلیل این باشد که دو موج با دامنه نزدیک به هم و اختلاف فاز ۱۸۰درجه قبل از برخورد به آنتن گیرنده برهم اثر کرده و اثر همدیگر را در موقعیت آن آنتن خنثی کرده باشند. در این صورت با اندکی جابجایی آنتن به اختلاف قابل توجه می­رسیم. این حالت نمونه ­ای از ناپایداری در حوزه دریافت عملی آن است.
مشکلات حل مسائل پراکندگی معکوس
یکی از مشکلات اساسی در این مسائل، غیر یکتا بودن آنهاست. مثلاً میدان­های محوشونده ناشی از محیط با تلفات و یا قسمت­ های با ابعاد بسیار کوچک، قابل شناسایی نخواهد بود. مشکلات دیگری را می­توان نام برد از جمله:

• از دست دادن داده: به علت محدود بودن فضا و تأثیر امواج پراکنده شده بر هم، یا اطلاعات تکراری در اندازه ­گیری داده

• داده­ی نویزی: داده­ی گرفته شده در آنتن گیرنده آغشته به نویز تصادفی خواهد بود.

• داده­ی غیرقابل مشاهده: یعنی اینکه حل مسئله­ بهینه­سازی، منجر به اطلاعات غیر فیزیکی می­ شود. به عبارت دیگر اطلاعاتی که از طریق مدل مستقیم قابل مدل­سازی نباشد.

• روش غیر دقیق: روش های بهینه سازی ممکن است منجر به ناپایداری شود.

کاربردهای پراکندگی و پراکندگی معکوس
پراکندگی امواج صوتی و مغناطیسی نقش اساسی در علوم کاربردی ایفا می کند. پاره­ای ازموارد استفاده­ی آن به قرار زیر است:

• عکس­برداری از بدن بیماران برای مصارف پزشکی: مانند استفاده از امواج مغناطیسی برای تشخیص سرطان مغز استخوان در افراد

• عکس­برداری زیر سطحی: برای کاربردهایی چون مین­زدایی، اکتشاف نفت، تحقیقات باستان شناسی و…

• کاربردهای راداری: شناسایی تعداد، شکل و ابعاد اجسام متحرک همچون هواپیما، کشتی و…

• انجام تست­های غیر مخرب مانند تشخیص ترک­خوردگی داخل اجسام، تشخیص حضور مواد خطرناک مثلاٌ قابل احتراق در داخل اجسام و…

روش های کلی حل مسائل معکوس
بسته به نیازی که در حل مسئله معکوس وجود دارد می­توان صورت سوال را تنظیم کرد. مثلاً در تعیین میزان فلز به کار رفته داخل یک بلوک بتونی قطعاً جنس برای ما مهم نیست و چیزی که اهمیت دارد شکل و موقعیت فلزات داخل بتون است. یا در تشخیص ترکیدگی لوله در آزمایش­های غیر مخرب فقط شکل داخلی برای ما اهمیت دارد که ببینیم آیا ترکی وجود دارد یا خیر.
روش های بازسازی کیفی
همانطور که از اسمش بر می ­آید با عدد و رقم کاری ندارد و کیفیت جسم را مشخص می­ کند. یعنی موقعیت و شکل کلی اجسام را مشخص می­ کند. روش­هایی مانند روش نمونه­برداری خطی^[۱۵]، روش تنظیم سطح، معکوس­سازی زمانی^[۱۶] و… از جمله این روش­ها هستند که فرایند آنها شناسایی موقعیت و شکل کلی اجسام است و در دسته روش های کیفی^[۱۷] شناسایی جسم قرار می­گیرند.
روش های بازسازی کمی
روش بازسازی کمی جنس جسم را مشخص می­ کند. پارامترهایی از قبیل  به کمک این­دسته از روش­ها شناسایی می­شوند. از جمله مهمترین روش­های پراکندگی معکوس^[۱۸] که در این شاخه جای می­گیرند روش­های برمبنای بهینه­سازی است. به این شکل که تابعی تعریف می­ شود که بهینه کردن آن منجر به شناسایی مقادیر  در محیط مطالعه می­شوند. روش­های متنوعی در زمینه بهینه­سازی وجود دارد. از جمله می­توان به الگوریتم ژنتیک^[۱۹]، روش تکامل تفاضلی^[۲۰]، روش هجوم ذرات^[۲۱] و جست­وجوهای هارمونی اشاره کرد.
روش های کمی و کیفی پراکندگی معکوس
در این فصل قصد داریم ابتدا صورت مسئله پراکندگی معکوس را روشن­تر نماییم و آن را به کمک روابط ریاضی بیان کنیم. سپس در ادامه به توصیف برخی از روش­های کیفی و کمی خواهیم پرداخت.
فرم کلی یک مسئله پراکندگی معکوس
بیان یک مسئله پراکندگی معکوس به این صورت است: مجموعه ­ای از آنتن­های فرستنده امواج الکترومغناطیسی را دورتادور محیط به شکل یکنواخت یا هر حالت دیگری که نتیجه ­گیری بهتر آن تشخیص داده شده است قرار می­دهیم. در صورتی که در حالت نیم­فضا^[۲۲] قرار داشته باشیم در آن صورت محل استقرار آنتن­ها فقط در نصف فضای اطراف محیط است. امواج به محیط تابانده می­ شود و امواج برگشتی و عبوری از محیط توسط دسته دیگری از آنتن­ها دریافت می­ شود.

شکل ‏۲–۱: شکل کلی یک مسأله­ پراکندگی معکوس[۱]
اگر محدوده تحت بررسی در طول مرحله­ اندازه ­گیری بدون تغییر بماند، معادله انتگرالی زیر را خواهیم داشت:[۱]
(۲-۱)
اثبات: در محیط شکل ‏۲–۱ معادله­ موج به­ صورت رابطه­ زیر است:
(۲-۲)
به­ طوری­که در داخل محیط پراکنده­ساز داریم:
(۲-۳)
در اطراف محیط و در محل آنتن­ها نیز:
(۲-۴)