در معادله فوق تعداد مشاهدات با ارزش i به ارزش j بصورت زیر است:
(۳-۲۳)
۳-۳-۴-۳ برآورد ارزش در معرض ریسک
الف) برآورد ارزش در معرض ریسک تحت توزیع نرمال
میانگین و واریانس شرطی مدل GARCH-N بصورت زیر نوشته می‌شود (پینگ^[۱۶۵]، ۲۰۰۷):
(۳-۲۴)
r_t نرخ بازدهی و پارامترهای غیر منفی است همچنین جهت اطمینان از مثبت بودن واریانس شرطی و مانایی محدودیت صادق است.
تابع لگاریتم درستنمایی مدل GARCH-N بصورت زیر نوشته می‌شود:
(۳-۲۵)
جاییکه پارامتر بردار مدل GARCH-N هستند. از آنجایی که در بسیاری از مطالعات زیان ریالی مربوطه (VaR) بصورت VaR روزانه محاسبه می‌شود، بصورت تجربی می‌دانیم که بازدهی روزانه متوسط در مقایسه با انحراف معیار آن بسیار کم است و درنتیجه VaR مربوطه یا «VaR – نسبی» بسیار نزدیک به VaR- صفر می‌باشد. در مطالعه هانگ و همکاران (۲۰۰۸) از VaR- صفر استفاده شده زیرا آن برای شرایط ریسکی که معاملگران با آن مواجه هستند واقعی‌تر است. جوریون^[۱۶۶](۲۰۰۰)، VaR- صفر بر پایه توزیع نرمال را بصورت زیر تعریف می کند.

(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

(۳-۲۶)
Z_c بیانگرد درصد سمت چپ c برای توزیع نرمال استاندارد است.
همچنین:
(۳-۲۷)
که کوانتایل توزیع نرمال استاندارد و و میانگین و انحراف معیار شرطی دوره است(همان).
ب) برآورد ارزش در معرض ریسک تحت توزیع تی- استیودنت
با توجه به ویژگی‌های غیرنرمالی بسیاری از داده‌های مالی، توزیع تی-استیودنت رایج‌ترین توزیع برای تفسیر ویژگی‌های دم پهن توزیع‌های آنها می‌باشد. بنابراین بولرسلو(۱۹۸۶) از توزیع تی-استیودنت برای توزیع شرطی مدل GARCH استفاده نمود. این توزیع نشان دهنه دامنه پهن‌تر و کشیدگی بیشتر نسبت به توزیع نرمال است. با درنظر گرفتن معادله واریانس و میانگین شرطی تابع لگاریتم مدل GARCH-t بصورت زیر محاسبه می‌شود.
(۳-۲۸) -()ln
جاییکه پارامتر بردار مدل GARCH-N هستند. معادله VaR-t بصورت زیر می‌باشد.
(۳-۲۹)
و همچنین
(۳-۳۰)
توزیع تی-استیودنت با درجه آزادی بزرگتر از ۲ است.
ج) برآورد ارزش در معرض ریسک تحت توزیع GED
پولیتیز (۲۰۰۴) جهت نرمال‌سازی و تبدیل تثبیت واریانس یک مدل ARCH(p) زیر را پیشنهاد داد
(۳-۳۱)
در معادله فوق Z_t دارای i.i.d N(0,1). است. تحت فروض ARCH(P)، باقیمانده‌های می‌تواند بصورت زیر نوشته شود.
(۳-۳۲)
که در آن تخمین‌های غیرمنفی از هستند. و همچنین باید مشابه i.i.d N(0,1). تحت فروض ARCH رفتار کند. پولیتیز جهت استیودنت‌سازی بازدهی یک نرخ تجربی را با اضافه نمود به سمت راست معادله فوق بصورت زیر
(۳-۳۳)
در آورد.
همچنین تخمین‌زن پس از برخی دستکاری‌های جبری بصورت زیر بازنویسی می‌شود.
(۳-۳۴)
که و همچنین باعث می‌شود که شکل ARCH ضمنی بصورت معادله فوق باشد. تابع چگالی تحت عنوان توزیع GED نامیده می‌شود. در واقع تابع چگالی بصورت زیر است.
(۳-۳۵)
تابع لاگاریتم درستنمایی GARCH-GED به شکل زیر می‌باشد.
(۳-۳۶)
جاییکه پارامتر بردار مدل GARCH-GED هستند. معادله VaR-GED بصورت زیر می‌باشد(بولرسلو(۱۹۸۶).
(۳-۳۷)
۳-۳-۵ زنجیره مارکوف
زنجیره مارکوف، سیستم ریاضی است که انتقالات از یک حالت به حالت دیگر در آن به صورت زنجیره‌وار صورت می‌گیرد و تعداد حالات ممکن، قابل شمارش و محدود است. این زنجیره، فرایند تصادفی بدون حافضه می‌باشد. به این معنی که حالت بعدی فقط به حالت جاری و نه به کل حالت‌های گذشته بستگی دارد. بطور کلی زنجیره مارکوف بصورت زیر توصیف می‌شود: مجموعه حالت‌های S را درنظر بگیرید. فرایند در یکی از حالت‌ها آغاز شده و بطور متوالی از یک حالت به حالت دیگر حرکت می‌کند. هر حرکت مرحله نامیده می‌شود. اگر زنجیره در حال حاضر در حالت i باشد در این صورت زنجیره در مرحله بعدی به حالت j با احتمال p_ij حرکت می کند. احتمالات p_ij، احتمالات انتقال نامیده می‌شود(سارنج، ۱۳۹۱).
بطور کلی زنجیر مارکوف فرایند تصادفی گسسته (زمان گسسته) با ویژگی مارکوف می‌باشد. اغلب واژه زنجیره مارکوف به منظور فرایند مارکوفی که فضای حالت گسسته (محدود یا قابل شمارش) دارد بکار می‌رود. فرایند تصادفی گسسته زمانی به این معنی است که سیستم در هر مرحله در حالت معینی است و حالات بصورت تصادفی میان مراحل در حال تغییر می‌باشند. مراحل اغلب بصورت زمان نشان داده می‌شوند ولی می‌توانند بصورت فاصله فیزیکی یا هر اندازه گسسته دیگر نیز باشند.
ویژگی مارکوف بیان می‌کند که توزیع احتمال شرطی سیستم در مرحله بعد (و درواقع در تمام مراحل آتی) با توجه به حالت فعلیش، تنها به حالت جاری سیستم و نه به حالت سیستم در مراحل قبلی وابسته می‌باشد. از آنجایی که سیستم بصورت تصادفی تغییر می‌کند، بطور کلی غیرممکن است که حالت دقیق سیستم در آینده پیش‌بینی گردد. با وجود این، ویژگی‌های آماری سیستم در آینده را می‌توان پیش‌بینی نمود. مجموعه‌ای از همه حالات و احتمالات انتقال به طور کامل زنجیره مارکوف را مشخص می‌نمایند. طبق قرارداد فرض می‌گردد که همه حالات ممکن و انتقالات در تعریف فرآیندها وارد شده‌اند و بنابراین همیشه مرحله بعدی وجود داشته و فرایند ببرای همیشه ادامه می‌یابد. زنجیره مارکوف دنباله‌ای از متغیرهای تصادفی X₁، X_2، X₃ … با ویژگی مارکوف و با توجه به حالت فعلی است که حالات آتی و گذشه مستقل می‌باشند.
(۳-۳۵)
ارزش محتمل مجموعه قابل شمارش s را تشکیل می‌دهد که فضای حالت زنجیره نامیده می‌شود.
۳-۳-۵-۱ احتمالات انتقال
در زنجیره مارکوف، احتمال رفتن از رژیم یا حالتی به رژیم یا حالت دیگر احتمال انتقال نامیده می‌شود.
فرض می‌کنیم که دو حالت  ، که با متغیر پنهان  ، نشان داده می‌شود، وجود دارد. این متغیر، دو ارزش را بسته به حالت اقتصاد اتخاذ می کند، ۱ و ۲. انتقال میان حالت‌ها تحت فرایند مارکوف مرتبه اول به‌صورت زیر می‌باشد (همیلتون (۱۹۸۹)):
(۳-۳۸)
احتمالی است که اقتصاد در زمان  از حالت ۱ (یا ۲) به حالت ۲ (یا ۱) سوئیچ می کند. مرسوم است که این احتمالات انتقال را در ماتریس  خلاصه نماییم:
ماتریس احتمال انتقال
در ابتدا فرض می‌گردد که احتمال انتقال میان رژیم‌ها ثابت می‌باشد. بنابراین، احتمال انتقال در طول زمان ثابت بوده و با  و  همانند دو پارامتر برخورد خواهد شد و یا برای تعریف احتمال انتقال رژیمی از تابع لوجستیک استفاده خواهد شد. ضعف مدل با احتمالات انتقالی ثابت این است که مدت زمان‌های مورد انتظار رونق‌ها و رکودها می‌توانند متفاوت باشند ولی مجبورند که در طول زمان ثابت باشند.
۳-۳-۵-۲ تابع لوجستیک
تابع لوجستیک مانند احتمالات، همیشه ارزش‌های بین صفر و یک را اتخاذ می‌نمایند:
(۳-۳۹)
نمودار این تابع در شکل (۳-۳) نشان داده شده است(همان):
۱
۰.۵