حال با بهره گرفتن از نتیجه ، می توان الگوریتم را فرمول بندی نمود. روش ، سعی می نماید تا با بهره گرفتن از ترکیب اطلاعات موجود از زیرفضای نویز و سیگنال، تقریبی از ماتریس کوواریانس سیگنال را به صورت مجزا از، محاسبه نماید. این موضوع سبب می گردد که بتوان با بهره گرفتن از تصویر ماتریس هدایت، تخمین بهتر و مناسب تری از بردار جهت (زاویه ورود) و میزان همبستگی بین سیگنال های مورد نظر به دست آورد. با توجه به تجزیه ، به بردار ویژه و مقادیر ویژه، معادله زیر حاصل می گردد:
(۳-۶۸)
که ماتریس ، یک ماتریس و ماتریس ، یک ماتریس خواهد بود. در حالتی که، تعداد منابع برابر با و معلوم باشد، ماتریس کوواریانس نمونه را می توان به شکل زیر تقریب زد:
(۳-۶۹)
که ، ماتریس داده های دریافتی بوده و طبق عبارت فوق می توان، آن را به شکل زیر بیان نمود:
(۳-۷۰)
در حالت کلی، می توان ماتریس وزن دهی را به گونه ای انتخاب نمود که
. معمولاً از روش ورژن یک، برای محاسبه ماتریس وزن دهی استفاده می شود که به شکل زیر قابل نمایش می باشد:

( اینجا فقط تکه ای از متن پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )

(۳-۷۱)
در وزن دهی به روش فوق، عدم همبستگی نویز، از اهمیت بسیار بالایی برخوردار است. در حقیقت، در این روش وزن دهی، اثر نویز بر روی ماتریس کوواریانس داده ها، حذف گردیده و سعی می شود ماتریس کوواریانس، بدون نویز محاسبه گردد. با بهره گرفتن از معادله (۳-۶۵) و محاسبه برای ، در بین ام با توجه به نمونه برداشته شده، مقدار ، از روش زیر محاسبه می گردد:
(۳-۷۲)
باید توجه نمود، در حالتی که نویز وجود نداشته باشد، تساوی برقرار بوده و عبارت را می توان با جایگزین نمود. در این حالت، معادله
(۳-۷۰) به روش تبدیل خواهد شد. در روش ، هدف، مینیمم نمودن عبارت فوق، به ازای های مختلف بر روی مجموع تمام بین های فرکانسی می باشد.
(۳-۷۳)
به منظور محاسبه ، توسط فرمول فوق، نیاز به جستجوی بعدی می باشد که حجم محاسبات را بسیار سنگین نموده و در عمل امکان تشخیص سریع و هم زمان ^[۸۳] را از بین می برد. به عنوان مثال، در حالتی که، ماتریس جهت دهی، یک ماتریس باشد، آنگاه،
.
در این صورت می بایست فرمول فوق به ازای کلیه ترکیب های محاسبه و مینیمم گردد که حجم بسیار بالایی از محاسبات را شامل خواهد شد. در عمل، به منظور کاهش حجم محاسبات، سعی بر این است که ابتدا مسئله را با بهره گرفتن از ماتریس تصویر با بعد یک، یعنی ماتریس ، به صورت یک بعدی تعریف و در مرحله بعد، نسبت به بهینه کردن آن اقدام نمود. در این صورت ماتریس دارای رتبه ۳ خواهد بود، که می بایست، ماتریس کوواریانس، با را در معادلات لحاظ نماییم. با توجه به این که در تمامی الگوریتم ها، سعی بر محاسبه مقدار ماکزیمم است، عبارت فوق به شکل زیر قابل محاسبه خواهد بود:
(۳-۷۴)
که در آن ، ماتریس تصویر با رتبه یک می باشد. باید توجه نمود که عبارت فوق با شرط ، برقرار خواهد بود.
در صورتی که، ، را تعریف نماییم، طبق روابط فوق در روش ، هدف، مینیمم کردن ، به ازای های متفاوت خواهد بود. بنابراین معادلات زیر برقرار می گردد:
(۳-۷۵)
(۳-۷۶) (۳-۷۷)
در روابط فوق، ، معادل واریانس نویز بوده که از میانگین گیری بر روی مقدار ویژه ماتریس کوواریانس محاسبه می گردد.
۳-۳-۱۳- محاسبه تخمین به روش
برای مینیمم نمودن ، روش های متعددی وجود دارد. یکی از این روش ها، روش اصلاح شده نیوتن^[۸۴] می باشد. در این روش، ابتدا یک اولیه انتخاب نموده و با بهره گرفتن از فرمول زیر، مقدار را بهینه
می نماییم. پس از بار تکرار معادله زیر، می توان به نتیجه دلخواه دست یافت:
(۳-۷۸)
در معادله فوق،، مقدار محاسبه شده در مرحله تکرار ام، و ، ماتریس هسین^[۸۵] می باشد
(در ضمیمه الف به صورت کامل تعریف گردیده است)، که بر روی تابع ارزش عمل می نماید. هم چنین ، بردار گرادیان و ، طول هر مرحله است. به منظور همگرا شدن معادله مذکور، می بایست، ، کوچکتر از یک گردد. در روش نیوتن، مقدار ، با همگرایی عبارت بالا (تابع هزینه) و تخمین آن به صورت عملی حول یک نقطه ایستان، به دست می آید. در عبارت فوق، تابع منفی گرادیان، دارای جهت نزولی در جهت بردار گرادیان بوده و برای این که تابع () نیز یک تابع نزولی شود، می بایست، ماتریس ، یک ماتریس مثبت معین باشد. در حقیقت، اگر تخمین اولیه ، خیلی دورتر از مقدار واقعی آن باشد، آن گاه ، تخمین مناسبی ارائه نخواهد داد و بنابراین به ازای کلیه مقادیر انتخابی برای ، نمی توان تخمین صحیحی از را ارائه نمود. هم چنین باید توجه داشت که محاسبه ماتریس ، به عملیات سنگین و طاقت فرسایی نیاز دارد.
به منظور حل مسئله مذکور، سعی شده است که ماتریس ، به روش ساده تری تخمین زده شود که این روش منجر به این خواهد شد که ماتریس ، قطعاً یک ماتریس مثبت معین گردد. در این روش سعی بر آن است که با بهره گرفتن از بزرگ، به صورت مجانبی، ماتریس تخمین زده شود. به این تکنیک، روش تصویر متغیر اصلاح شده^[۸۶] () اطلاق می گردد. در حقیقت، این روش بسیار شبیه به روش گوس نیوتن برای حل مسائل غیرخطی ^[۸۷] می باشد. این الگوریتم، به منظور رفع مشکلات پردازش آرایه ها، توسط ویبرگ [۴]استفاده شده است، که در ادامه به توضیح الگوریتم ویبرگ پرداخته خواهد شد.
ابتدا بردار را به صورت زیر تعریف می نماییم:
(۳-۷۹)
با جایگذاری رابطه (۳-۷۹)، خواهیم داشت:
(۳-۸۰)
با محاسبه مشتق تابع ، نسبت به ، خواهیم داشت:
(۳-۸۱)
(۳-۸۲)
هم چنین مشتق ماتریس تصویر بردار ()، به شکل زیر خواهد بود: {۳۳و۱۶}
(۳-۸۳)
(۳-۸۴)
با جایگذاری رابطه (۳-۸۳) در رابطه (۳-۸۱) داریم:
(۳-۸۵)
که ، ماتریس قطری، شامل المان های قطر اصلی ماتریس ، می باشد.
(۳-۸۶)
در گام بعدی، می بایست، ماتریس هسین^[۸۸] محاسبه گردد. با گرفتن مشتق، از معادله (۳-۸۱) نسبت به ، تساوی زیر حاصل می گردد:
(۳-۸۷)
با در نظر گرفتن ملاحظات گوسی، در روش نیوتن و صرف نظر از مشتق دوم که بسیار کوچک است، داریم:
(۳-۸۸)
با توجه به این که ، تساوی زیر برقرار خواهد بود:
(۳-۸۹)