(۳-۱۳)
و با توجه به رابطه پایستگی جرم (۳-۶)خواهیم داشت:
(۳-۱۴)
و به بیان دیگر:
(۳-۱۵)
حال رابطه (۳-۱۲) برای اصطکاک را به صورت زیر بازنویسی می­کنیم:

( اینجا فقط تکه ای از متن فایل پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )

(۳-۱۶)
بنابراین ضریب اصطکاک به عدد رینولدز وابسته است:
(۳-۱۷)
مقیاس ضریب انتقال گرمای جابجایی نیز با به کاربردن ضخامت لایه مرزی گرمایی به دست می ­آید:
(۳-۱۸)
که در آن تغییرات دمایی در ناحیه است.
بر اساس معادله انرژی لایه مرزی (۳-۱۱) همیشه بین رسانش از دیواره به جریان و جابجایی حرارت روی دیواره موازنه انرژی وجود دارد:
(۳-۱۹)
دو حالت زیر را در نظر می­گیریم:
۱- اگر باشد (فلزات مذاب) آنگاه مقیاس u خارج لایه مرزی سرعت برابر است و با توجه به رابطه (۳-۶) مقیاس برابر است. به این ترتیب برای عبارت دوم در سمت چپ (۳-۱۹) داریم:
(۳-۲۰)
که در آن است بنابراین در برابر بسیار ناچیز و قابل صرفنظر است.
در نتیجه موازنه بین رسانش و جابجایی به سادگی به تبدیل می­ شود و در نتیجه:
(۳-۲۱)
با ادغام معادلات (۳-۱۵) و (۳-۲۱) خواهیم داشت:
(۳-۲۲)
یعنی نسبت فقط تابعی از Pr است و مستقل از x می­باشد.
بنابراین فرض در صورتی معتبر است که باشد. فلزات مایع دارای چنین ویژگی هستند.
حال ضریب انتقال گرمای (۳-۱۸) را می­توان با بهره گرفتن از (۳-۲۱) بازنویسی کرد:
(۳-۲۴)
۲- اگر باشد (مانند هوا با عدد پرانتل یک و یا مانند آب و روغن با پرانتل بزرگتر از یک ) آنگاه از نظر هندسی مقیاس u در ناحیه کوچکتر از است و خواهیم داشت:
(۳-۲۵)
با جایگذاری این مقیاس در رابطه مربوط به موازنه رسانش و جابجایی خواهیم داشت:
(۳-۲۶)
و با ادغام معادلات (۳-۱۵) و (۳-۲۶) خواهیم داشت:
(۳-۲۷)
بنابراین فرض برای سیالاتی با معتبر است.
همچنین مقیاس­های ضریب انتقال گرما و عددناسلت به صورت زیر تغییر می­یابند:
(۳-۲۸)
(۳-۲۹)
بیژن در برخی از مواقع خود ]۲۱و۲۲[ از تحلیل مقیاسی در حل مسایل استفاده کرده و به آن توصیه نموده است. از این روش در سال­های اخیر هم در پژوهش­ها و هم در آموزش استفاده­های زیادی شده است. باتا چاربی و هاندلر ]۲۳[ برای تحلیل فواره تحت فشار در نزدیکی دیواره داغ از این روش استفاده کردند. کاستا ]۲۴[ یک روش حل یکپارچه برای مسایل همرفت به وسیله تعیین مقیاس زمانی فرایندهای رشد تنظیم نمود. گرشتن و هرویگر ]۲۵[یک فرمول­بندی سه لایه را برای تحلیل مقیاس در مورد لایه مرزی جریان آرام تبیین نمودند. همچنین هرویگر ]۲۶[مبانی تحلیل مقیاس برای کل انتقال گرما را ارائه و در مورد گروه ­های بی­بعد و اهمیت فیزیکی­شان بحث کرد.

۳-۲ روش انتگرالی :
روش انتگرالی برای حل معادلات لایه مرزی قسمت مهمی از تحلیلی است که همکاران پرانتل به نام­های هاوس و فون کارمن در دهه ابتدایی قرن بیستم ارائه کردند.
در روش مقیاسی نحوه اثرگذاری پارامترهای هندسی و پارامترهای جریان را بر و نشان داده شد. برای مثال فهمیدیم و هر دو با متناسب هستند و به همین­خاطر مقدار اصطکاک و شار گرما در نزدیکی لبه ابتدایی صفحه بیشتر است.گام بعدی در دقیق­تر کردن جواب به دست آمده برای اصطکاک و ضریب انتقال گرما٬ تعیین ضرایب عددی است که در نتایج به دست آمده از تحلیل مقیاسی مشخص نشدند. در روش انتگرالی با توجه به تعاریف و درمی­یابیم که نیازی به حل کامل و در نزدیکی دیواره نیست بلکه فقط به شیب­های و در احتیاج است. از آنجا که تغییرات و در ارتباطی با تعیین مقادیر و ندارند می­توانیم متغیر را از معادلات لایه مرزی ممنتوم و انرژی حذف کنیم. این کار با انتگرال­گیری از تمام عبارت­های این روابط در بازه تا انجام می­ شود به طوری که در آزاد واقع شده است.
ابتدا با بهره گرفتن از معادله بقای جرم (۳-۱)معادلات ممنتوم و انرژی را به صورت زیر بازنویسی می­کنیم:
(۳-۳۰)
(۳-۳۱)
با انتگرال­گیری از روابط (۴-۳۰) و (۴-۳۱) از تا و همچنین استفاده از فرمول انتگرال­گیری لایب نیتز داریم:
(۳-۳۲)
(۳-۳۳)